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오일러 프로젝트

오일러 프로젝트 42

n번째 삼각수는 tn = ½ n (n + 1) 이라는 식으로 구할 수 있는데, 처음 10개는 아래와 같습니다.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, …

어떤 영어 단어에 대해서, 각 철자의 알파벳 순서(A=1, B=2, …, Z=26)를 모두 더한 값을 ‘단어값’이라 부르기로 합니다. 예를 들어 ‘SKY’의 단어값은 19 + 11 + 25 = 55가 되는데, 이것은 우연히도 t10과 같습니다. 이렇게 어떤 단어의 단어값이 삼각수일 경우에는 이 단어를 ‘삼각단어’라 부르기로 합니다.

약 16KB의 텍스트 파일 words.txt에는 2000개 정도의 영어 단어가 수록되어 있습니다. 이 중에서 삼각단어는 모두 몇 개입니까?  

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오일러 프로젝트 35

소수 중에서 각 자리의 숫자들을 순환시켜도 여전히 소수인 것을 circular prime이라고 합니다. 예를 들어 197은 971, 719가 모두 소수이므로 여기에 해당합니다. 이런 소수는 100 밑으로 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 31, 37, 71, 73, 79, 97 처럼 13개가 있습니다. 그러면 1,000,000 밑으로는 모두 몇 개나 있을까요? http://euler.synap.co.kr/prob_detail.php?id=35 접근 백만 아래에서 순환하는 모든 소수를 찾아야 한다. 기본적인 범위가 백만 단위이고 수행해야 할 연산도 많기 때문에 만만치 않은 문제인 것처럼 보인다. 일단 범위를 줄이는 것 대신에 숫자를 한자리씩 순환시키는 숫자를… 더 보기 »오일러 프로젝트 35

오일러 프로젝트 32

1부터 n까지의 각 숫자를 한번씩만 써서 만들 수 있는 숫자를 팬디지털(pandigital)이라고 합니다. 예를 들면 15234는 1부터 5의 숫자가 한번씩만 쓰였으므로 1 ~ 5 팬디지털입니다. 7254라는 숫자는 그런 면에서 특이한데, 39 × 186 = 7254 라는 곱셈식을 만들 때 이것이 1 ~ 9 팬디지털이 되기 때문입니다. 이런 식으로 a × b = c 가 1 ~ 9 팬디지털이 되는 모든 c의 합은 얼마입니까? (참고: 어떤 c는 두 개 이상의 (a, b)쌍에 대응될 수도 있는데, 이런 경우는 하나로 칩니다)

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오일러 프로젝트 30

각 자리의 숫자를 4제곱해서 더했을 때 자기 자신이 되는 수는 놀랍게도 단 세 개밖에 없습니다.

  • 1634 = 14 + 64 + 34 + 44
  • 8208 = 84 + 24 + 04 + 84
  • 9474 = 94 + 44 + 74 + 44

(1 = 1**4의 경우는 엄밀히 말해 합이 아니므로 제외합니다) 위의 세 숫자를 모두 더하면 1634 + 8208 + 9474 = 19316 입니다. 그렇다면, 각 자리 숫자를 5제곱해서 더했을 때 자기 자신이 되는 수들의 합은 얼마입니까?

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오일러 프로젝트 29

2 ≤ a ≤ 5 이고, 2 ≤ b ≤ 5 인 두 정수 a, b로 만들 수 있는 ab의 모든 조합을 구하면 다음과 같습니다.

22=4, 23=8, 24=16, 25=32, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, 42=16, 43=64, 44=256, 45=1024, 52=25, 53=125, 54=625, 55=3125

여기서 중복된 것을 빼고, 크기 순으로 나열하면 아래와 같은 15개의 숫자가 됩니다.

4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 64, 81, 125, 243, 256, 625, 1024, 3125

그러면, 2 ≤ a ≤ 100이고, 2 ≤ b ≤ 100인 a, b를 가지고 만들 수 있는 ab는 중복을 제외하면 모두 몇 개 입니까?

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오일러 프로젝트 28

숫자 1부터 시작해서 우측으로부터 시계방향으로 감아 5×5 행렬을 만들면 아래와 같이 됩니다.

        21 22 23 24 25
        20  7  8  9 10
        19  6  1  2 11
        18  5  4  3 12
        17 16 15 14 13

여기서 대각선상의 숫자를 모두 더한 값은 101 입니다. 같은 방식으로 1001×1001 행렬을 만들었을 때, 대각선상의 숫자를 더하면 얼마가 됩니까?


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오일러 프로젝트 26

분자가 1일 분수를 단위 분수라고 합니다. 분모가 2에서 10까지인 단위 분수는 아래와 같습니다. 

\begin{array}{lll}
1/2 & = & 0.5 \\
1/3 & = & 0.\dot{3} \\
1/4 & = & 0.25 \\
1/5 & = & 0.2 \\
1/6 & = & 0.1666 ... = 0.1\dot{6} \\
1/7  & = & 0.142857142857... = 0.\dot{1}4285\dot{7} \\
1/8 & = & 0.125 \\
1/9 & = & 0.1111.... = 0.\dot{1} \\
1/10 & = & 0.1
\end{array}

숫자 위에 찍힌 점은 순환마디를 나타내는데, 1/6의 경우 순환마디는 ‘6’으로, 0.166666… 처럼 6이 무한히 반복됨을 뜻합니다. 같은 식으로 1/7은 6자리의 순환마디(142857)를 가집니다. d를 1000이하의 정수라고 할 때, 단위분수 1/d의 순환마디가 가장 긴 수는 무엇입니까?

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오일러 프로젝트 25

피보나치 수열은 아래와 같은 점화식으로 정의됩니다.

F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} \\(F_1 = 1, F_2 = 1)

이에 따라 수열을 12번째 항까지 차례대로 계산하면 다음과 같습니다.

F1 = 1
F2 = 1
F3 = 2
F4 = 3
F5 = 5
F6 = 8
F7 = 13
F8 = 21
F9 = 34
F10 = 55
F11 = 89
F12 = 144

수열의 값은 F12에서 처음으로 3자리가 됩니다. 피보나치 수열에서 값이 처음으로 1000자리가 되는 것은 몇 번째 항입니까?

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