몬티홀 문제를 이해하는 다른 방법

몬티홀 문제는 조건부 확률의 대표적인 예이며, 조건부 확률을 사용하여 선택지를 바꾸는 것이 유리하다는 것을 증명할 수 있습니다. 그러나 많은 조건부 문제들이 그렇듯이 이 문제는 직관에 반하는 것처럼 보입니다. 계산으로 답을 구한다 한들, 도대체 왜 진행자가 문을 열어주는 것이, 처음에 선택되지 않았던 문의 당첨 확률을 높이는 결과를 만드는 것일까요? 그에 대한 여러 가지 설명들이 존재하지만, 되려 복잡하고 어렵게만 느껴질 뿐입니다. 대신 문제의 본질을 이해하는 것이 어렵다하더라도 그것을 체감하기에는 좋은 설명이 있어 소개합니다.

몬티홀 문제를 직관적으로 이해하기 힘든 이유 중 하나는 사회자가 문을 열어주기 전과 후의 확률 변화가 그렇게 극적이지 않아보인다는 점입니다. 그렇다면 문의 개수를 3개에서 10,000개로 늘려서 생각해봅시다. 사회자는 모든 문의 결과를 알고 있기 때문에, 여러분이 하나의 문을 선택한 후에, 임의의 한 개만 남기로 스포츠카가 들어있지 않은 문을 모두 열어주는 것으로 가정합니다.

문이 10,000개나 되므로 최초 시도에서 당첨될 확률은 0.01%로 모든 문이 똑같습니다. 그리고 극히 희박하죠. 첫 시도에서 여러분이 선택한 문 뒤에 스포트카가 있을 확률은 고작 0.01% 밖에 되지 않습니다. 그리고 여러분이 선택하지 않은 문들 가운데 스포츠카가 있을 확률은 99.99%입니다.

사회자가 꽝인 문을 하나씩 열어 나가더라도, 여러분이 선택하지 않은 문 중에서 스포츠카가 나올 확률이 99.99%이라는 사실은 변하지 않습니다. 사회자가 모든 문을 열고 단 하나의 문만 남았을 때에도, 처음에 선택하지 않은 문 중에서 스포츠카가 나올 확률은 여전히 99.99%입니다. 그런데 그러한 문이 1개만 남아있습니다. 그렇다면 그 문 뒤에 스포츠카가 있을 확률은? 99.99%입니다. 당연히 문을 바꾸는 것이 유리하겠죠.