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오일러 프로젝트 53

1, 2, 3, 4, 5 다섯 숫자 중에서 세 개를 고르는 것에는 다음과 같은 10가지 경우가 있습니다.

>> 123, 124, 125, 134, 135, 145, 234, 235, 345

조합론이라는 분야에서는 이것을 5C3 = 10 이라고 표현하며, 일반적인 식은 아래와 같습니다. 

\binom{n}{r} =\frac{n!}{r!(n-r)!}

이 값은 n=23에 이르러 23C10 = 1144066으로 처음으로 백만을 넘기게 됩니다. 그렇다면 1 ≦ n ≦ 100 일 때 nCr의 값이 1백만을 넘는 경우는 모두 몇 번입니까?

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프로젝트 오일러 51

두자리 숫자 ▯3 의 첫번째 자리를 여러가지로 바꿨을 때 가능한 아홉가지의 결과 중에서 13, 23, 43, 53, 73, 83의 여섯개는 소수입니다. 56▯▯3의 세 번째와 4번째 자리를 동일한 숫자로 바꿔서 만들어지는 10개의 다섯자리 숫자 중에는 아래에서 보듯이 7개가 소수가 되며, 이것은 이런 식으로 7개의 소수가 만들어지는 첫번째 경우입니다. 이 소수 집단의 첫번째 수인 56003은 이런 성질을 갖는 가장 작은 소수입니다.

56003, 56113, 56333, 56443, 56663, 56773, 56993

위의 예처럼 원래의 일부를 동일한 숫자로 치환했을 때 8개의 소수 집단이 만들어지는 경우를 찾고, 그 집단에 속한 가장 작은 소수를 구하세요. 치환하는 자리는 인접하지 않아도 되고, 가장 앞부분을 치환하는 경우에는 거기에 0은 올 수 없습니다.

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오일러 프로젝트 50

41은 소수이면서 다음과 같은 6개의 연속된 소수의 합으로도 나타낼 수 있습니다.

41 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13

이것은 100 이하에서는 가장 길게 연속된 소수의 합으로 이루어진 소수입니다. 1000 이하에서는 953이 연속된 소수 21개의 합으로 가장 깁니다. 1백만 이하에서는 어떤 소수가 가장 길게 연속되는 소수의 합으로 표현될 수 있습니까?

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오일러 프로젝트 49

1487, 4817, 8147은 3330씩 늘어나는 등차수열입니다. 이 수열에는 특이한 점이 두 가지 있습니다. 세 수는 모두 소수입니다. 세 수는 각각 다른 수의 자릿수를 바꿔서 만들 수 있는 순열(permutation)입니다. 1자리, 2자리, 3자리의 소수 중에서는 위와 같은 성질을 갖는 수열이 존재하지 않습니다. 하지만 4자리라면 위엣것 말고도 또 다른 수열이 존재합니다. 그 수열의 세 항을 이었을 때 만들어지는 12자리 숫자는 무엇입니까?

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오일러 프로젝트 47

서로 다른 두 개의 소인수를 갖는 수들이 처음으로 두 번 연달아 나오는 경우는 다음과 같습니다.

  • 14 = 2 × 7
  • 15 = 3 × 5

서로 다른 세 개의 소인수를 갖는 수들이 처음으로 세 번 연속되는 경우는 다음과 같습니다.

  • 644 = 2² × 7 × 23
  • 645 = 3 × 5 × 43
  • 646 = 2 × 17 × 19

서로 다른 네 개의 소인수를 갖는 수들이 처음으로 네 번 연속되는 경우를 찾으세요. 그 첫번째 수는 얼마입니까?

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오일러 프로젝트 46

크리스티안 골드바흐는 모든 홀수인 합성수를 (소수 + 2×제곱수)로 나타낼 수 있다고 주장했습니다.

  • 9 = 7 + 2×12
  • 15 = 7 + 2×22
  • 21 = 3 + 2×32
  • 25 = 7 + 2×32
  • 27 = 19 + 2×22
  • 33 = 31 + 2×12

이 추측은 잘못되었음이 밝혀졌습니다. 위와 같은 방법으로 나타낼 수 없는 가장 작은 홀수 합성수는 얼마입니까?

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오일러 프로젝트 45

삼각수, 오각수, 육각수는 각각 아래 식으로 구할 수 있습니다.

  • 삼각수 Tn = n × (n + 1) ÷ 2 : 1, 3, 6, 10, 15, …
  • 오각수 Pn = n × (3n – 1) ÷ 2 : 1, 5, 12, 22, 35, …
  • 육각수 Hn = n × (2n – 1) : 1, 6, 15, 28, 45, …

여기서 T285 = P165 = H143 = 40775가 됩니다. 오각수와 육각수도 되는, 그 다음으로 큰 삼각수를 구하세요.

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오일러 프로젝트 44

오각수는 Pn = n (3n − 1)/2 라는 공식으로 구할 수 있고, 처음 10개의 오각수는 다음과 같습니다.

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, …

위에서 P4 + P7 = 22 + 70 = 92 = P8이 됨을 볼 수 있습니다. 하지만 두 값의 차인 70 − 22 = 48 은 오각수가 아닙니다. 합과 차도 모두 오각수인 두 오각수 Pj, Pk 에 대해서, 그 차이 D = | Pk − Pj | 는 가장 작을 때 얼마입니까?

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