오일러 프로젝트 66번 문제는 펠 방정식의 최소해에 관한 문제이다. 나이브하게 접근했다가는 결코 풀어낼 수 없을 수준으로 시간이 많이 걸린다. 그리고 그나마 빠른 해법 역시 구현하기 위해 여러 가지 지식과 스킬이 동원된다. 접근 방법을 알고 있더라도 구현이 만만치 않은, 1번부터 현재까지는 최고 난이도의 문제라 할 수 있다. 통상 오일러 프로젝트의 문제들은 순서에 맞게 풀어나갈 필요는 없지만, 이 문제 만큼은 57번, 64번, 65번을 풀 때의 지식이 그대로 요구된다.
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오일러 프로젝트 57 번 문제는 2의 제곱근을 연분수 형태로 전개하는 것을 단계별로 진행할 때, 각 단계를 기약분수 형태로 만들어서 분자와 분모의 숫자 자리수를 비교하는 문제이다. 일단 자리 수가 엄청나게 커지는 관계로 쉬운 문제는 아니다.
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자연수 n의 제곱근은 연분수 형태로 나타낼 수 있다. 정수부와 실수부를 각각 나눈다고 생각하고 n의 제곱근을 넘지 않는 정수와 실수부의 합으로 나눈 후, 실수부를 분자가 1이 되는 분수의 형태로 바꾼다. 즉 실수부의 역수를 다시 정수부와 실수부로 나누는 작업을 반복하면서 연분수로 전개한다. 그 과정은 아래와 같이 단계를 일반화 할 수 있다. 위 계산 과정으로부터 초기값 및 점화식을 아래와 같이 얻을 수 있다. 위 점화식을 사용하여, A, B, C의 다음 항을 각각 구해나간다. 이 때 완전 제곱인 형태이거나, 이전의 a, b, c 값의… 더 보기 »오일러 프로젝트 64