오일러 프로젝트 25

오일러 프로젝트 25 번은 1000자리 이상이 되는 수가 피보나치 수열의 몇 번째 항에서 처음 나타나는 가를 묻는 문제이다.

피보나치 수열은 아래와 같은 점화식으로 정의됩니다. Fn = Fn-1 + Fn-2 (단, F1 = 1, F2 = 1). 이에 따라 수열을 12번째 항까지 차례대로 계산하면 다음과 같습니다.

F1 = 1

F2 = 1

F3 = 2

F4 = 3

F5 = 5

F6 = 8

F7 = 13

F8 = 21

F9 = 34

F10 = 55

F11 = 89

F12 = 144

 

수열의 값은 F12에서 처음으로 3자리가 됩니다. 피보나치 수열에서 값이 처음으로 1000자리가 되는 것은 몇번째 항입니까? (http://euler.synap.co.kr/prob_detail.php?id=25)

접근

어떤 수 x에 대해서 10을 밑으로 하는 로그를 취하면 그 정수부값 + 1이 자리수가 된다. 예를 들어 10은 log_{10} 10 = 1이고 두 자리 자연수이다. 따라서 피보나치 수열을 계산해 나가면서 로그값을 취해 999 이상이 되는 첫 항을 구해보면 된다. 다른 큰 수가 등장하는 문제들에서도 그렇고 파이썬이라면 큰 수 계산에 그렇게 큰 부담을 가지지 않아도 된다. 상용로그 함수는 math 모듈 내에 포함되어 있다.

from math import log10

def e25():
  n, a, b = 2, 1, 1
    while 1:
        if log10(b) >= 999:
            print(n)
            return
        a, b,n  = b, a+b, n+1

%time e25()
#4782
#Wall time: 6 ms

큰 수를 사용할 수 없을 때

Swift처럼 큰 수를 사용할 수 없는 경우에 어떻게 처리할까? 이미 만들어본 BigNumber를 사용하는 방법이 있을것이다. 그러나 정작 효율은 매우 좋지 못하다. 겨우 4782번항까지 계산하는 것치고는 너무 심하게 오래 걸리는게 문제이다. (그나마 최적화 옵션줘서 컴파일했을 때 실행해보면 4~5초대가 나오기는 하는데…) 그래서 좀 다른 접근법이 필요하다.

위키 백과에서 피보나치 수열을 찾아보면 비네의 식이라는 피보나치 수열의 일반항의 근사치를 구하는 식이 나온다.

F_n = \frac{\phi^n - (1 - \phi)^n}{\sqrt{5}}

그리고 이 식으로부터 F_n\frac{\phi^n}{\sqrt{5}} 에 가장 가까운 정수라는 사실을 알 수 있다. 그리고 이 값이 1000자리가 되어야 하므로 다음과 같은 부등식을 세울 수 있다.

\begin{array}{rcl}  \frac{\phi ^ n}{\sqrt{5}} & > & 10^{999} \\  \phi ^{n} & > & \sqrt{5} \cdot 10^{999} \\  n \cdot \log{10}{\phi} & > & 999 + log{10}{\sqrt{5}} \\  n & > & \frac{999 + log{10}{\sqrt{5}}}{log{10}{\phi}} \end{array}

따라서 다음과 같이 빠르게 계산할 수 있다.

이 때 \phi는 황금비율로 \frac{1 + \sqrt{5}}{2} 로 계산된다.

import Foundation

let phi: Double = (1 + sqrt(5.0)) / 2
let x: Double = (999 + log10(sqrt(5)) / log10(phi)
print(Int(x + 0.5))