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선형대수를 사용해서 연립방정식 풀기

연립방정식을 손으로 푸는 방법으로는 학교에서 소거법이나 대입법 같은 테크닉을 배운다. 하지만 간단한 1차 연립 방정식을 다른 방법을 사용해서도 풀 수 있는데, 이 다른 방법이라는 것이 손으로 풀기에는 더욱 귀찮지만 컴퓨터에 적용할 수 있다는 장점이 있어서 소개한다.

한개에 600원하는 귤과 한 개에 1000원하는 사과를 모두 12개를 사고, 8800원을 지불하였다. 귤과 사과는 몇 개씩 샀는지 구하라.

이 문제에는 귤과 사과의 개수를 더해서 12, 구매 금액을 모두 더해서 8800원이라는 두 개의 조건이 등장한다. 이 두 조건을 식으로 쓰면 다음과 같을 것이다.

  • 600 * + 1000 * = 8800
  • + = 12

이렇게 정리된 식을 단순 다항식이 아니라 행렬로 표기할 수 있을 것이다. 다음과 같이 말이다.

| 600 1000 | * |  | = | 8800 |
|   1    1 |   |  | = |   12 |

여기서 계수에 해당하는 앞의 2×2 행렬의 역행렬을 구해서 양변의 좌측에 곱해주면 방정식이 풀리게 된다. 이 원리를 사용해서 선형대수를 다룰 수 있는 라이브러리들은 선형방정식 풀이 방법을 제공한다. numpy를 사용해서 이 방정식을 풀어내는 코드는 다음과 같다.

import numpy as np
print(np.linalg.solve([[600, 1000], [1, 1]], [8800, 12]))
# -> [8., 4.]

사실 위에서 B는 1 * 2 행렬이기 때문에 [[8800], [12]] 가 되는 것이 맞지만, 편의상 2 * 1 로 써도 알아서 잘 풀어준다. 3원 일차 방정식의 경우에도 동일한 방법으로 풀 수 있다. 다른 식이 미지수의 개수만큼 있다면 3×3 행렬이나 4×4 행렬로 표현할 수 있기 때문에, 이 방식으로 풀어낼 수 있다.

Julia 에서는 행렬에 대한 연산을 기본적으로 제공하기 때문에 별다른 함수를 사용할 필요가 없다. \ 연산자를 사용하면 된다. (x \ yy / x와 같은 연산자로, 행렬을 나누는 것은 곧 역행렬을 곱하는 것으로 본다.)

> [600 1000; 1 1] \ [8800; 12]
2-element Array{Float64,1}:
 7.999999999999998
 4.000000000000001
> (Int ∘ round).([600 1000; 1 1] \ [8800; 12])
2-element Array{Int64,1}:
 8
 4

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